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波前PSD解讀與測(cè)量

一、功率譜密度(PSD)簡(jiǎn)介

傳統(tǒng)光學(xué)面形評(píng)價(jià)指標(biāo)如峰谷值(PV)、均方根值(RMS)及粗糙度，僅覆蓋了表面面形低頻及高頻頻率段，不能有效評(píng)價(jià)元件表面中頻頻段的面形誤差，而對(duì)于中頻部分面形誤差的評(píng)價(jià)的最好指標(biāo)就是使用功率譜密度。美國(guó)NIF根據(jù)畸變波前空間調(diào)制周期L的大小，將畸變波前分為三個(gè)頻段：低頻段（L≥33mm），中高頻段（0.12mm＜L＜33mm）、高頻段（L≤0.12mm），并分別用PV及GRMS（位相均方根梯度）、PSD、RMS作為各個(gè)頻段的評(píng)價(jià)參數(shù)。

波前功率譜密度(PSD)，其計(jì)算的本質(zhì)是傅里葉頻譜分析，分析時(shí)不受元件孔徑的限制，便于對(duì)不規(guī)則外形的元件進(jìn)行各種頻率分量的分析。采用PSD描述方法，通過(guò)傅里葉變換，可以定量地給出光學(xué)元件波前誤差的空間頻率分布，從而確定各個(gè)頻率分量的影響。

二、波前PSD的計(jì)算方法

（一）PSD定義

在對(duì)光學(xué)表面面形評(píng)價(jià)的應(yīng)用中,功率譜密度的定義為波面頻率分量傅立葉頻譜振幅的平方,其一維形式為：

式中f_i空間頻率，Δf = f_i+1-f_i（i=1，2，3，……）為頻率間隔，A(f_i)是z(x)的一維傅里葉變換：

其中z(x)是光學(xué)輪廓函數(shù)。

（二）基于波面相位函數(shù)計(jì)算PSD

在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)波面相位函數(shù)直接得到，一維PSD為：

其中，Φ^*(f)表示取復(fù)共軛，L為取樣長(zhǎng)度，Φ(f)為空間域二維位相函數(shù)ф(x)的傅里葉變換。同理得出二維波面PSD為：

其中，L_x，L_y分別為X軸、Y軸方向上的空間域采樣長(zhǎng)度，Φ(f_x,f_y)為空間域二維位相函數(shù)ф(x,y)的傅里葉變換。

（三）PSD離散化公式

數(shù)字干涉儀測(cè)得的輪廓數(shù)據(jù)是離散的，離散化后其一維形式為：

其中m∈[-N/2,N/2]，N為采樣點(diǎn)數(shù)，Δx為采樣間隔，m為頻率離散自變量，z(n)為被測(cè)波面的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)。z(n)為波面數(shù)據(jù)，n=0,1,2,…,N-1。將干涉儀測(cè)得的波面數(shù)據(jù)帶入上式就可以得到被測(cè)樣品的PSD值

同理，PSD的二維離散形式為：

三、波前PSD的測(cè)量

PSD并不是一個(gè)單一的量值,而是一個(gè)分布圖,在干涉檢測(cè)中表示了光學(xué)元件面形的頻譜在各個(gè)空間頻率成分的權(quán)重分布。它直接反應(yīng)了在頻域中不同頻率所對(duì)應(yīng)的值（誤差、能量或其他）。

波前PSD的測(cè)量實(shí)際上是對(duì)光學(xué)元件反射波前或透射波前的檢測(cè)。在干涉儀上獲得光學(xué)元件的波前誤差，沿水品方向和垂直方向分別對(duì)波前誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉便函，即可分別得到兩個(gè)一維的PSD結(jié)果。PSD曲線的強(qiáng)烈的波紋表示該包面輪廓具有明顯的空間波紋起伏信息。

下面展示了使用我司研制的某型干涉儀對(duì)某光學(xué)表面進(jìn)行測(cè)量，得到的測(cè)量結(jié)果。首先在軟件中對(duì)測(cè)量區(qū)域進(jìn)行標(biāo)定，設(shè)置采樣長(zhǎng)度。

然后點(diǎn)擊測(cè)量按鈕完成對(duì)光學(xué)表面的測(cè)量。生成面形的二維和三維圖，計(jì)算得出PV、RMS等面形質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)，同時(shí)自動(dòng)生成波前的PSD曲線。

四、PSD的量綱單位及包含的信息

（一）PSD的量綱單位

根據(jù)PSD的一維表達(dá)式，A(f_i)的量綱為(m)²，Δf的量綱為(m)^-1，所以一維PSD的量綱為(m)³，即一維的量綱為長(zhǎng)度單位的三次方，在應(yīng)用中通常采用(nm²mm)做為單位。

同理根據(jù)二維PSD離散表達(dá)式，可知二維PSD的量綱為長(zhǎng)度單位的四次方。在應(yīng)用中通常采用(nm²mm²)作為單位。

（二）PSD曲線與標(biāo)準(zhǔn)偏差（RMS）之間的關(guān)系

由Parseval定理得，在相同頻段范圍內(nèi)PSD曲線下方包含的“面積”等于波面均方根(RMS)的平方，即：

一維形式：

二維形式為：

波前PSD解讀與測(cè)量

一、功率譜密度(PSD)簡(jiǎn)介

二、波前PSD的計(jì)算方法