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一、基本定義及性質(zhì)

勒讓德多項(xiàng)式是表述矩形表面和口徑的一組多項(xiàng)式集合，其優(yōu)點(diǎn)是在矩形區(qū)域內(nèi)具有正交性，它的數(shù)學(xué)描述如下：

式中，，，c_n代表其各項(xiàng)系數(shù)。從圖像上看，它是一個(gè)類似正弦函數(shù)的波動(dòng)函數(shù)，下圖為幾個(gè)低階的勒讓德多項(xiàng)式：

性質(zhì)（一）：正交性

二、主要用途

通常情況下，在干涉檢測中常用澤尼克多項(xiàng)式作為面形擬合函數(shù)，它是一種僅在圓形光瞳上正交的序列函數(shù)，但卻不適用于柱面鏡面形或方形鏡面形的面形擬合，而勒讓德多項(xiàng)式是一組可在[-1,1]的矩形區(qū)域上正交的序列函數(shù)，它的這種正交性滿足了柱面或矩形對稱區(qū)域的特點(diǎn)，故可以用勒讓德多項(xiàng)式來對柱面鏡面和方形鏡面等進(jìn)行面形擬合。

三、我司在勒讓德多項(xiàng)式方面的研究成果

目前我司常用的有兩款干涉測量軟件，分別是相移干涉測量軟件PhaseSight和SwordPro移相干涉測試軟件。PhaseSight是一代64位集成軟件包，可配合多種相移干涉儀使用，現(xiàn)支持傳統(tǒng)的PZT移相、波長調(diào)諧移相和偏振同步移相三種模式；SwordPro是本公司開發(fā)的PSI移相干涉測試軟件的全新升級(jí)版，其支持兩種移相驅(qū)動(dòng)方式和多種圖像采集方式。

測量方形元件時(shí)，干涉測量軟件能夠通過勒讓德多項(xiàng)式對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行面形擬合。通過擬合前后結(jié)果對比分析，我們可以得知，利用勒讓德多項(xiàng)式擬合的面型比較完美的符合被測方形元件的面型，其面型檢測指標(biāo)PV值、RMS值等也均符合要求。

我司在勒讓德多項(xiàng)式方面的研究于國內(nèi)首屈一指，其擬合結(jié)果不僅能夠精確到小數(shù)點(diǎn)后六位之多，其系數(shù)數(shù)值的準(zhǔn)確度更與ZYGO保持一致。同時(shí)，其軟件運(yùn)算速度更是ZYGO軟件的2倍有余，運(yùn)算結(jié)果精確、運(yùn)算速度更快。

      此外，勒讓德多項(xiàng)式還可以與賽德像差對應(yīng)，如多項(xiàng)式的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)（L₁和L₂）代表傾斜項(xiàng)，第四項(xiàng)和第六項(xiàng)（L₃和L₅）代表離焦項(xiàng)等。它為有選擇的單獨(dú)處理各像差系數(shù)，優(yōu)化系統(tǒng)性能提供了有效方法。